斐波那契数列之美

算法数学俱乐部

日期：2019年12月21日

正文共：2019字15图

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来源:Pasu

有这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34……前两个元素为1，其他元素均为前两个元素和。在数学上以如下递归的方法定义： 

这就是斐波那契数列的数学定义。那数学家是如何发现（或创造）出这个这个数列，它又有什么意义呢？莫着急，我们先从斐波那契的生平说起。 

斐波那契是一位数学家，生于公元1170年，籍贯大概是比萨，卒于1240年后。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。斐波那契数列因他解决兔子繁殖的应用题而引入，故又称为“兔子数列”。除此之外，他对欧洲数学的另一大贡献就是引进阿拉伯数字，从而取代了复杂的罗马计数法。 

对于程序员而言，或许它是仅次于Hello World，最常见的一道编程题。简单易懂，多数人可以很快的明白它的定义并尝试写出它的编码。但这个数列就是为了考试而生？是数学家编造出来故意玩弄程序员，还是隐藏着某个宇宙的终极奥秘，它生冷的公式下面又蕴藏着哪些数学之美。 

先卖一个关子，我们先看它在现实的意义，然后再分析其中的数学原理。上面这张图是一个树干的简化图。确实像一颗树，而且树干也是分层的。推理能力不错，可以去当砍树工了。如果你还能从中看出每一层树干个数（1,2,3,5,8,13）都是斐波那契数列中的元素，只需要早产一千年，斐波那契就只能是个砍树工了。 

也许这个例子并不充分，我们在看看大自然中最常见的美——花儿，数一数每一层花瓣的数目，是否也是斐波那契数列中的一个元素。 

首先是花瓣数目最少的百合，下面是一张百合的图片。 

可以看到百合花分为2层，每层都是3个花瓣，而3确实是该数列的第四个元素。如果你觉得百合的花瓣数太少，数的不尽兴，那我们再来看看菊花的花瓣数目。慢着，菊花是什么。好吧，居然也是斐波那契的第六个元素：8。 

严肃点，人家正在讨论数学问题呢，笑什么笑。看看真正的菊花是多少个花瓣，果然还是斐波那契数列的第八个元素：21。 

你开始怀疑，现实世界中也许真的有一种力量，似乎对自然的美赋予了一个看不见的数学公式：斐波那契数列。

脑海里面瞬间想起了王力宏那首《美》，查了一下，原来歌词里Mei这个音重复的次数都是1，2，3，5。原来歌声中也能发现斐波那契数列的美。可能你还纳闷，美女甩头跟斐波那契数列有什么关系？其实，在数学上，这称为斐波那契螺旋线，比如向日葵，飓风图，还有宇宙星云图中都会看到类似的轨迹，而这个轨迹中隐藏着这个数列。如下图，脖子不要拉伤。   

有没有脑洞大开的节奏,仿佛主赐予了你一双慧眼,你顿时觉得，无论是自然界中的美，还是人类文明所造就的美，总会发现斐波那契之美的蛛丝马迹，下面这两幅名画，相信每个人都看已经看过很多次了。揉揉眼睛，保持正确的解读姿势，开启血轮眼模式再看一遍。如果下次看到任何美的事物而不由自主的浮现出斐波那契螺旋线时，恭喜你中毒了…… 

终于你相信，万物之美，总能找到斐波那契数列的规律了，可这里面的数学原理又是什么呢？”打破砂锅问到底”是一个好的态度。你有没有发现，美女那么多，看多了会审美疲劳，会觉得都是一个模子出来的。而丑的话却各有千秋？这TMD也是数学管的？恩，你可能知道我要说什么了——黄金分割。 

早在古希腊，就有人发现了黄金分割，似乎在1.618这个比例是最美的，建筑物的比例，雕塑的比例，然后再到美女的比例，都在这个值的区间内。这也就解释美女为什么看上去都差不多的原因。实际上，黄金分割和斐波那契数列本质上是一种概念的两种外在形式。下图是七位数的斐波那契数列，我们让相邻的两个分别相除，则会发现，数字越大，这个值越接近黄金分割值。 

下面通过简单数学公式，证明斐波那契数列和黄金分割之间的内在关联。在极限的情况下，我们认为相邻两个元素的商等于黄金分割值，我们假设值为△，则有如下等式：   

而该数列又满足X(n) = X(n-1) + X(n-2),我们替换X(n)后，等式转换为： 

是不是一切都明了了，我们把X(n-1)/X(n-2)记为△，则X(n-2)/X(n-1)则是它的倒数1/△,这样，该等式就是△（黄金分割值）的一元二次方程1 + 1/△ = △: 

套用二次方程公式，我们可以得到△ =(1 + √5)/2，约等于1.618。终于，我们用数学，证明了这个美的存在和公式下的数学之美。 

其实，这不是斐波那契数列的全部，数学家并不甘于到此为止，而是进一步的发现了更本质的规律，只要数列满足X(n) = X(n-1) + X(n-2)，无论前两个值是多少，都满足黄金分割的条件，这就是Brady Number。而斐波那契数列是最简单的特例：前两个元素均为1

再后来，数学家还发现了费马大定理和这个数列的关系(费马大定理的证明历时三百五十年)，并应用到诸多领域（比如加密）。你会发现，学习数学并不只是为了考试，虽然数学的美是隐蔽的，也是纯粹的，永恒的。

— THE END —

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